利用几何画板怎样直观地展示费尔巴哈定理？

几何画板是一个非常实用的数学软件，它可以方便地帮助我们解决各种几何问题。本文将介绍如何利用几何画板验证费尔巴哈定理，即一个圆的内切圆和旁切圆的圆心都在该圆的外部。以下是详细步骤：

第一步：画出九点圆

九点圆是指一个圆上有九个点，我们可以选择任意九个点作为圆上的点，然后画出这个圆。这个步骤是为了后续的作图提供必要的图形基础。

第二步：构造内切圆

我们首先选择点B、A、C，然后在"构造"菜单中选择"角平分线"，找到∠BAC的平分线k。同样方法作出∠ABC的平分线l，选择角平分线k、l，选择"构造"菜单中的"交点"，作出内切圆圆心Q。接着，我们选择点Q和线段BC，在"构造"菜单中选择"垂线"，作出线段BC的垂线m。最后，我们求出线段BC和垂线m的交点R。然后选择点Q和R，在"构造"菜单中选择"以圆心和圆周上的点作圆"，作出内切圆Q。

第三步：构造旁切圆

我们再次选择点B、A，在"构造"菜单中选择"直线"，在直线AB上取一点S。然后选择点C、A、S，选择"构造"菜单中的"角平分线"，作出∠CAS的平分线n。选择角平分线l、n，选择"构造"菜单中的"交点"，作出旁切圆圆心T。接着，我们选择点T和线段AC，选择"构造"菜单中的"垂线"，作出垂线。最后，我们求出AC和垂线的交点U。然后选择点T和U，在"构造"菜单中选择"以圆心和圆周上的点作圆"，作出旁切圆T。

第四步：隐藏辅助线，得到验证结果

在完成以上步骤后，我们可以隐藏所有的辅助线，只留下九点圆的内切圆和旁切圆。可以看到，这两个圆的圆心都在该圆的外部，这就是费尔巴哈定理的证明结果。

总结一下，要验证费尔巴哈定理，我们需要首先画出九点圆，然后构造内切圆和旁切圆。内切圆的圆心在九点圆的内部，而旁切圆的圆心在九点圆的外部。通过隐藏辅助线，我们可以清晰地看到这两个圆的圆心位置，从而得到证明结果。

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